9. Sınıf Gerçek Sayı Kümeleri Ders Notları
1. Rakam ve Sayı Tanımları
Rakam: Sayıları yazmak için kullanılan sembollerdir. 0'dan 9'a kadar olan on sembol: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Sayı: Rakamların bir araya gelmesiyle oluşan ve miktarı, sırayı veya değeri ifade eden kavramdır. Örneğin, 5 bir sayı, 23 başka bir sayı.
Çift Sayı: 2'ye tam bölünebilen sayılardır. Son rakamı 0, 2, 4, 6, 8 olan sayılar.
Tek Sayı: 2'ye tam bölünemeyen, kalan 1 veren sayılardır. Son rakamı 1, 3, 5, 7, 9 olan sayılar.
Asal Sayı: 1'den ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan sayılardır (1 asal değildir).
Sayı: Rakamların bir araya gelmesiyle oluşan ve miktarı, sırayı veya değeri ifade eden kavramdır. Örneğin, 5 bir sayı, 23 başka bir sayı.
Çift Sayı: 2'ye tam bölünebilen sayılardır. Son rakamı 0, 2, 4, 6, 8 olan sayılar.
Tek Sayı: 2'ye tam bölünemeyen, kalan 1 veren sayılardır. Son rakamı 1, 3, 5, 7, 9 olan sayılar.
Asal Sayı: 1'den ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan sayılardır (1 asal değildir).
Örnekler:
Rakam: 7
Sayı: 42
Çift Sayı: 10 (10 ÷ 2 = 5)
Tek Sayı: 9 (9 ÷ 2 = 4 kalan 1)
Asal Sayı: 13 (Bölenleri: 1 ve 13)
Rakam: 7
Sayı: 42
Çift Sayı: 10 (10 ÷ 2 = 5)
Tek Sayı: 9 (9 ÷ 2 = 4 kalan 1)
Asal Sayı: 13 (Bölenleri: 1 ve 13)
2. Doğal Sayı Kümesi
Doğal sayılar, sayma sayılarıdır. Genellikle 0'dan başlar: N = {0, 1, 2, 3, ...}. Bazı tanımlarda 1'den başlar, ancak modern kullanımda 0 dahil edilir.
Örnek: 5, 0, 42 doğal sayılardır. -3 doğal sayı değildir.
3. Tam Sayı Kümesi
Tam sayılar, doğal sayılarla birlikte negatiflerini ve sıfırı içerir: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Örnek: -5, 0, 7 tam sayılardır. 1/2 tam sayı değildir.
4. Rasyonel Sayı Kümesi
Rasyonel sayılar, iki tam sayının oranı şeklinde yazılabilen sayılardır: Q = { | a, b ∈ Z, b ≠ 0}. Sonlu veya devirli ondalık gösterime sahip sayılar.
Örnek: = 0.5, ≈ 0.666..., 4 = .
5. İrrasyonel Sayı Kümesi
İrrasyonel sayılar, rasyonel olmayan, yani iki tam sayının oranıyla ifade edilemeyen sayılardır. Sonsuz ve devirsiz ondalık gösterime sahiptirler.
Örnek: √2 ≈ 1.414213..., π ≈ 3.141592..., e ≈ 2.71828...
6. Gerçek Sayı Kümesi
Gerçek sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimidir: R = Q ∪ (irrasyoneller). Sayı doğrusundaki tüm noktaları temsil eder.
Örnek: -3.14, √5, 0, gerçek sayılardır.
7. Küme Kavramları
Eşit Küme: İki küme aynı elemanlara sahipse eşittir. A = B ise her a ∈ A için a ∈ B ve tersi.
Denk Küme: İki kümenin eleman sayısı aynıysa denk kümedir (bijeksiyon vardır), ama elemanlar farklı olabilir.
Boş Küme: Hiç elemanı olmayan küme: ∅ veya {}.
Tümleyen: Bir evrensel küme U içinde A kümesinin tümleyeni A' = {x ∈ U | x ∉ A}.
Kümenin Elemanı: Bir nesnenin kümede olup olmadığını gösterir: ∈ (elemanıdır), ∉ (elemanı değildir).
Liste Yöntemi: Kümenin elemanlarını süslü parantez içinde virgülle ayırarak gösterim: A = {1, 2, 3}.
Ortak Özellik Yöntemi: Kümenin elemanlarının ortak özelliğini belirterek gösterim: A = {x | x tam sayı ve x > 0}.
Denk Küme: İki kümenin eleman sayısı aynıysa denk kümedir (bijeksiyon vardır), ama elemanlar farklı olabilir.
Boş Küme: Hiç elemanı olmayan küme: ∅ veya {}.
Tümleyen: Bir evrensel küme U içinde A kümesinin tümleyeni A' = {x ∈ U | x ∉ A}.
Kümenin Elemanı: Bir nesnenin kümede olup olmadığını gösterir: ∈ (elemanıdır), ∉ (elemanı değildir).
Liste Yöntemi: Kümenin elemanlarını süslü parantez içinde virgülle ayırarak gösterim: A = {1, 2, 3}.
Ortak Özellik Yöntemi: Kümenin elemanlarının ortak özelliğini belirterek gösterim: A = {x | x tam sayı ve x > 0}.
Örnekler:
Eşit Küme: A = {1,2}, B = {2,1} ⇒ A = B
Denk Küme: {a,b} ve {1,2} denk (ikisi de 2 elemanlı)
Boş Küme: {x | x > 0 ve x < 0} = ∅
Tümleyen: U = {1,2,3}, A = {1} ⇒ A' = {2,3}
Eleman: 2 ∈ {1,2,3}, 4 ∉ {1,2,3}
Liste: {kırmızı, mavi}
Ortak Özellik: {çift sayılar}
Eşit Küme: A = {1,2}, B = {2,1} ⇒ A = B
Denk Küme: {a,b} ve {1,2} denk (ikisi de 2 elemanlı)
Boş Küme: {x | x > 0 ve x < 0} = ∅
Tümleyen: U = {1,2,3}, A = {1} ⇒ A' = {2,3}
Eleman: 2 ∈ {1,2,3}, 4 ∉ {1,2,3}
Liste: {kırmızı, mavi}
Ortak Özellik: {çift sayılar}
8. Küme İşlemleri
Kesişim (∩): İki kümenin ortak elemanlarından oluşan küme: A ∩ B = {x | x ∈ A ve x ∈ B}.
Bileşim (∪): İki kümenin tüm elemanlarından oluşan küme (tekrarsız): A ∪ B = {x | x ∈ A veya x ∈ B}.
Fark (\): Bir kümeden diğerinin elemanlarını çıkarma: A \ B = {x | x ∈ A ve x ∉ B}.
Bileşim (∪): İki kümenin tüm elemanlarından oluşan küme (tekrarsız): A ∪ B = {x | x ∈ A veya x ∈ B}.
Fark (\): Bir kümeden diğerinin elemanlarını çıkarma: A \ B = {x | x ∈ A ve x ∉ B}.
Örnekler:
A = {1,2,3}, B = {2,3,4}
Kesişim: A ∩ B = {2,3}
Bileşim: A ∪ B = {1,2,3,4}
Fark: A \ B = {1}, B \ A = {4}
A = {1,2,3}, B = {2,3,4}
Kesişim: A ∩ B = {2,3}
Bileşim: A ∪ B = {1,2,3,4}
Fark: A \ B = {1}, B \ A = {4}